ESTATICA: CENTROIDE - CENTRO DE MASA

Centro de masas

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Cálculo del CM de un sistema

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como: $\mathbf R_{CM}=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf r_i$

$m_i\,$ , masa de la partícula i-ésima.
$\mathbf {r}_i$ , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido.

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.
$\mathbf R_{CM} = \frac{\int\mathbf r \ dm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int\mathbf r \ dm$
Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación
$\mathbf R_{CM} = \frac{\rho \int_V \mathbf r \ dV}{\rho \int \ dV} = \frac{\int_V \mathbf r \ dV}{V}$
Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes.

- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo.

Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.
$\mathbf R_{CM} = \frac{\int_V \mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r}) \ dV}{M}$
- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.

EJEMPLOS:

EJEMPLO NUM 1

EJEMPLO NUM 2

EJEMPLO NUM 3

CENTROIDES

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

Momento de Inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3... Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3..., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3... con respecto al mismo eje.

EJEMPLOS:

EJEMPLO NUM 1