jueves, 4 de junio de 2009

CENTROIDE - CENTRO DE MASA

Centro de masas

El centro de masas de un sistema
discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Cálculo del CM de un sistema

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:\mathbf R_{CM}=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf r_i

m_i\,, masa de la partícula i-ésima.
\mathbf {r}_i, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido.

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.
\mathbf R_{CM} = \frac{\int\mathbf r \ dm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int\mathbf r \ dm
Distribución continua de materia


Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación
\mathbf R_{CM} = \frac{\rho \int_V \mathbf r  \ dV}{\rho \int \ dV} = \frac{\int_V \mathbf r \ dV}{V}
Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes.


- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo.

Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.
\mathbf R_{CM} = \frac{\int_V \mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r}) \ dV}{M}
- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.


EJEMPLOS:

EJEMPLO NUM 1
EJEMPLO NUM 2


EJEMPLO NUM 3


CENTROIDES

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

Centroide de un triángulo

Momento de Inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3... Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3..., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3... con respecto al mismo eje.

EJEMPLOS:
EJEMPLO NUM 1


EJEMPLO NUM 2



ANALISIS DE ESTRUCTURAS

Análisis estructural se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos que actúan sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria

Métodos de análisis estructural

Determinación de esfuerzos
El tipo de método empleado difiere según la complejidad y precisión requerida por los cálculos:
Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexión
Cuando se trata de analizar elementos más pequeños o con forma irregular donde pueden producirse concentraciones de tensiones se usan métodos numéricos más complejos como el Método de los elementos finitos.
Metodo de nodo
Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. Las armaduras pueden ser planas o espaciales.Este método consiste en analizar el equilibrio de cada junta o nodo una vez que se hayan determinado las reacciones. Las fuerzas sobre los pasadores en las juntas están siempre en la dirección de los elementos que hacen parte de estos; si el elemento comprime o empuja al pasador, este ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre aquél, el cual estará sometido a compresión. Si el elemento tira o hala al pasador, por reacción este halará al elemento y en consecuencia estará sometido a tracción.Las ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada junta, para armaduras planas son dos ya que se trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, por consiguiente el número máximo de elementos que puede tener la armadura para que sea estáticamente determinado por la formula 2n-3 siendo n el número de juntas. El 3 representa el número máximo de incógnitas en las reacciones.
El término tensión puede referirse a: en ingeniería, la tensión mecánica es la fuerza interna que actúa por unidad de superficie.
El término compresión puede tener significados diversos: En ingeniería se refiere al esfuerzo de compresión.
Metodo de secciones
METODO DE SECCIONES (ESTRUCTURAS ISOSTATICAS)
1.- SE DIBUJA EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA VIGA O EL MARCO QUE SE RESOLVERÁ.
2.- SE REALIZA EL CALCULO DE LAS REACCIONES DE LOS APOYOS QUE PUEDE SER:
2.1 POR ESTATICA
2.2 POR SUPERPOSICION DE CAUSAS Y EFECTOS
3.-PROPONEMOS EL NUMERO DE CORTES O SECCIONES, TOMANDO EN CUENTA Q SE PRESENTARAN EN CADA CAMBIO DE FORMA ESTRUCTURAL( POR TIPOS DE APOYOS, CAMBIO DE TRAYECTORIAS) O POR CAMBIOS EN EL TIPO DE CARGA
4.- IDENTIFICAR LOS LIMITES EN QUE VA A TRABAJAR LAS ECUACIONES DE CADA CORTE, ASI COMO LA GEOMETRIA FUNDAMENTALMENTE DE LOS BRAZOS DE PALANCA.
5.-SE VA ATRABAJAR SECCION POR SECCION, DE MANERA CICLICA HASTA TERMINAR LOS CORTES QUE SE PROPUSIERON.
6.- EN CADA CORTE IREMOS DIBUJANDO SU DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE REPRESENTANDO LA SECCION QUE PROPUSIMOS.
7.- PLANTEAMOS EN FUNCION DE LAS ECUACIONES DE LA ESTATICA LAS FORMULAS DE NORMALES, CORTANTES Y MOMENTOS.
7.1 PARA VIGAS, LAS NORMALES VAN EN X OSEA SOBRE EL EJE X, LAS CORTANTES SON VERTICALES (SUMATORIA DE FUERZAS EN “Y”) Y DETERMINAMOS NUESTRA CONVENCIOJN DE SIGNOS PARA LOS MOMENTOS.
8.- TOMANDO EN CUENTA LAS ECUACIONES OBTENIDAS DEL PUNTO ANTERIOR Y LOS LIMITES EN QUE TRABAJAN LAS MISMAS, OBTENEMOS LOS VALORES CON LOS QUE PODEMOS GRAFICAR.
8–1 LOS LIMITES SON LOS EXTREMOS DE LA DISTANCIA QUE ESTAMOS TRABAJANDO EN EL CORTE O SECCION PROPUESTOS. (SI TENEMOS UN CLARO O ESPACIO DE 3 METROS, LOS LIMITES SERA X DE 0 A 3)
9.-DIBUJAMOS LOS DIAGRAMAS A ESCALA.
EJEMPLOS:

1 EJERCICIO


2 EJERCICIO



3 EJERCICIO

EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS

Definición de Equilibrio Estático

Cuando un cuerpo rígido está en reposo o en movimiento rectilíneo a velocidad constante, relativo a un sistema de referencia, se dice que dicho cuero está e equilibrio estático. Para tal cuerpo tanto la aceleración lineal de su centro de masa como su aceleración angular relativa a cualquier punto son nulas. Obviamente este estado de equilibrio estático tiene su fundamento en la primera Ley de Newton, cuyo enunciado es: " Todo cuerpo en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, permanece en dicho estado, a menos que sobre ella actúe una fuerza" .

Condiciones de Equilibrio

Las condiciones para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio son:

Primera Condición de Equilibrio:(Equilibrio de traslación)

" La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es igual a cero" . Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o cuando e mueve a velocidad constante; es decir cuando la aceleración lineal del centro de masa es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial.
= `D1 + `F2 +`F3 + ..... + `FN = 0
En esta ecuación de equilibrio no aparecen las fuerzas internas ya que ellas se cancelan mutuamente en pares debido a la tercera Ley de Newton. Si las fuerzas estuvieran en el espacio, la ecuación anterior ha de ser expresada por las siguientes relaciones:
= F1x + F2x + F3x +…. + Fx = 0
= F1y + F2y + F3y +..... + FNy = 0
= F1z + F2z + F3z +..... + FNz = 0

Obviamente en dos dimensiones (o sea en el plano) tendríamos solamente dos ecuaciones y en una dimensión se tendría una única ecuación.

Segunda Condición de Equilibrio (Equilibrio de rotación)

" La suma vectorial de todos los torques o momentos de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, relativos a cualquier punto dado, sea cero" . Esto ocurre cuando la aceleración angular alrededor de cualquier eje es igual a cero.
`ti = `ti +`t2i +`t3i + .... + `tni = 0

De acuerdo a lo anterior, el máximo numero de incógnitas que puede tener un problema para poder solucionarlo completamente, es de seis para situaciones en tres dimensiones y de tres para dos dimensiones.

Cuando en un problema hay tantas incógnitas como ecuaciones disponibles y se pueden hallar todas, se dice que el problema es estáticamente determinado. Si existen mas incógnitas que ecuaciones, el problema es insoluble en su totalidad por los métodos de la estática y el problema es estáticamente indeterminado.
De otra parte, hay situaciones en las que, a pesar de tener un número de incógnitas igual al de ecuaciones disponibles no se pueden solucionar. Estas situaciones se presentan por un arreglo especial de los apoyos, haciendo que el sistema no esté completamente restringido para un sistema general de fuerzas.

Tal sistema es entonces estáticamente indeterminado y parcial o impropiamente restringido. Un cuerpo parcialmente restringido puede estar en equilibrio para un sistema particular de carga, pero dejará de estarlo para un sistema general de carga.

Por ejemplo una puerta apoyada en sus bisagras, estará en equilibrio mientras no se aplique una carga horizontal.

Si en un sistema hay menos incógnitas que ecuaciones disponibles, éste es parcialmente restringido, es decir, no podrá estar en equilibrio para un sistema general de fuerzas.
EQUILIBRIO

SIN EQUILIBRIO



EJEMPLOS:




MOMENTO CON RESPECTO A UN EJE Y PAR

El momento de una fuerza respecto a un eje: Elegido es el producto de la fuerza por el brazo del momento L=Fs

Siempre debe seleccionarse un eje con respecto al que los momentos de una fuerza pueden ser medidos. El valor del momento producido por una fuerza dada depende del eje elegido. La elección de un eje es completamente arbitraria; no necesita ser un eje real o fulcro. En muchos casos, sin embargo, una elección adecuada del eje respecto del cual tienen que ser calculados los momentos de las fuerzas simplifican mucho un problema, porque puede reducir a cero el momento de una fuerza cuya magnitud o dirección es desconocida.

Ya que el momento de una fuerza es el producto de una fuerza y una distancia, su unidad es una unidad de fuerza por una unidad de distancia.
Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares Fig., que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento sobre cada uno de los ejes así:

Donde son los cósenos directores del vector .

En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:
Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, Fig. , se proyecta el momento sobre el eje tal que:

O en forma vectorial:


Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así:

Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como:

De la figura se ve que y que entonces:

Como es cero, resulta que

Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje.

Aunque las ecuaciones, expresan que:

No se puede afirmar, desprevenidamente, que sea igual a , esto es; que el momento de respecto a O sea igual al momento de con respecto a P. Lo que las ecuaciones indican es que la proyección de y sobre el eje OL son iguales.Para entender esto, véase la figura.
Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura 1-20. Por un punto A sobre la línea de acción de la fuerza se puede trazar un plano P perpendicular al eje OL. En general la fuerza se puede descomponer en dos fuerzas y , siendo paralela al eje y la componente perpendicular al eje contenida en el plano P. Como ya se mencionó, la componente no produce momento respecto a OL.
Entonces el momento con respecto al eje será de magnitud donde d es la distancia perpendicular entre y OL.Ahora bien, la componente se puede descomponer, en general, en una componente radial y una componente tangencial ; obviamente no produce momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la única fuerza que produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho momento es .
MOMENTO PAR
un momento de fuerzas se define como la aplicacion de una fuerza externa sobre un punto en comun el cual sufre una accion por parte de dicha fuerza. Un par de fuerzas es un conjunto de dos fuerzas iguales y de sentido contrario aplicadas en puntos distintos. El momento del par de fuerzas o torque se representa por un vector perpendicular al plano del par, cuyo módulo es igual al producto de la intensidad común de las fuerzas por la distancia entre sus rectas soporte, y cuyo sentido está ligado al sentido de rotación del par.

un par de fuerzas actuando sobre un cuerpo y los vectores de posición y en dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción;El momento sera: Mo=(r1-r2)*F=r*F
donde r1 y r2 sonen dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción
En mecánica newtoniana, se denomina momento de fuerza, torque, torca, o par (o sencillamente momento) [respecto a un punto fijado B] a la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector). Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro punto B viene dado por:
 \vec {\tau} = \vec {r_{AB}} \times \vec {F}
Donde \vec{r}_{AB} es el vector director que va desde B a A. Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano formado por \vec{F} y  \vec{r}_{AB}.

Se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el
Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al julio en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el julio representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza.

El momento de fuerza es equivalente al concepto de par motor, es decir, la fuerza que se tiene que hacer para mover un cuerpo respecto a un punto fijo (Ej: un electrón respecto al núcleo) y se condiciona por la masa y la distancia.

Interpretación del momento
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación del cuerpo con respecto a éste.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a
torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas).

Cálculo de momentos en el plano

Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales de fuerzas, en los que todas las fuerzas y vectores directores están contenidos en un único plano, el cálculo de momentos se simplifica mucho porque se pueden considerar todos los momentos de las fuerzas como magnitudes escalares. Eso se debe a que el vector momento de fuerza, considerado como vector tridimensional sería perpendicular al plano de trabajo y, por tanto, sumar vectorialmente momentos se reduciría a sumar sólo su componente perpendicular al plano, que es una magnitud de tipo escalar. Si se considera una fuerza aplicada en un punto A del plano de trabajo y otro punto B sobre el mismo plano, el momento "plano" o escalar para realizar todos los cálculos necesarios viene dado por:

 \tau = \pm F \cdot d = \pm F \cdot l \cdot \sin\theta

siendo F \, el módulo de la fuerza y siend d \,o el brazo de la palanca, es decir, la distancia punto-recta entre el punto B desde el que consideramos los momentos y la recta de aplicación de la fuerza y \theta \, el ángulo que forman los dos vectores. El sentido, y por tanto, el signo se determina según la regla de la mano derecha.

En este caso, si por ejemplo una masa de un kilogramo está a un metro del eje de giro, al aplicar una fuerza F, el momento aplicado será la mitad del que se aplica con la misma fuerza pero con la masa situada a dos metros de distancia, para conseguir el mismo desplazamiento de giro.
PAR EQUIVALENTE
El efecto de rotación que produce una fuerza se expresa por el concepto de momento. Siempre que aplicamos una fuerza a un cuerpo estamos imponiendo una traslación y una rotación a ese cuerpo. ¿Será posible imponer una rotación a un cuerpo y hacer que el efecto de traslación sea cero?

Sí, es posible y esto se logra por medio de dos fuerzas que sean iguales en magnitud y dirección pero de sentido contrario y que estén separadas una distancia diferente de cero:
En ambos casos , pero en el caso “a” si tomamos momentos de ambas fuerzas con respecto a cualquier punto, el momento resultante daría cero (el efecto de rotación se anula). En el caso “b” no ocurre lo mismo:
lo que nos da un momento diferente de cero en el sentido de las manecillas del reloj.

Si tomamos momentos con respecto con respecto a B nos da el mismo momento (sentido y magnitud) que con respecto a A del caso “b”. El caso “b” representa una fuerza nula pero un efecto de rotación diferente de cero. A las fuerzas que cumplen la condición de ejercer efectos de rotación y no ejercer efectos de traslación las conocemos como “par de fuerzas”. Un ejemplo típico de par de fuerzas es el caso de las fuerzas que ejercemos a una cabrilla de un carro.

Un par de fuerzas es un sistema compuesto por dos fuerzas de igual magnitud, dirección y sentido contrario. Su efecto sobre un cuerpo rígido es una rotación única independiente del punto con respecto al cual se tomen los momentos.

Confirmemos esta afirmación trabajando en el espacio:
Se determina el efecto de rotación total del par de fuerza compuesto por y con respecto a O:

, los términos se anulan quedando solo el momento que hace una las componentes del par con respecto un punto sobre la línea de acción de la otra.

Se compraba que el momento de un par únicamente depende del vector de posición entre los puntos de aplicación de las componentes del par. El vector resultante es perpendicular al plano que contiene las fuerzas y su dirección lo determina la regla de la mano derecha.

Debido a que el efecto del par es de solo rotación, entonces se podría representar por medio del vector momento que él produce:
SUMA DE PARES

Para sumar pares, se suman sus efectos, o sea se suman los vectores momento de los pares.
Se tienen dos pares aplicados a un cuerpo
Sumando sus efectos, tenemos:

resultante

Se suman los vectores de momento componente a componente.
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS Y PARES:

Cuando se trabaja con partículas se encuentró que el efecto de todo un sistema de fuerzas aplicado a la partícula estaba dado por el efecto de la fuerza resultante R.
Los efectos de todas estas fuerzas se podían expresar solamente como traslaciones ya que los efectos de rotación en el punto que ocupa la partícula eran nulos (no hay distancia por lo tanto no hay momento).

Para sumar estas fuerzas solamente se aplicaba la suma por descomposición:

En un cuerpo rígido es diferente ya que cada fuerza puede tener un punto de aplicación distinto y sus efectos de rotación se deben tener en cuenta. ¿Cómo encontrar los efectos de traslación y rotación de un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo rígido?. El problema radica en que las líneas de acción de las fuerzas no coinciden en un punto, esto es, no se pueden sumar directamente las fuerzas y olvidarnos de su punto de aplicación.

Para solucionar esto se pueden hacer coincidir todas las fuerzas en un solo punto por medio del traslado y ahí sí, sumar fuerzas y momentos de traslado directamente. El resultado será un sistema fuerza-par resultantes que no necesariamente son perpendiculares entre sí. (¿por qué?).

Para este sistema de fuerzas compuesto por fuerzas y pares se encontrará la resultante en el punto O. Se trasladan todas las fuerzas a O y se suman fuerzas y momentos de traslado con pares iniciales así:


Donde:
o sea que la suma de momentos se puede realizar escalarmente considerando momentos con respecto a los ejes coordenados ( fuerzas y distancias perpendiculares entre si) quedando reducido el sistema a una sola fuerza R y un par MR.
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA FUERZA-PAR EN UN PUNTO A UN SISTEMA FUERZA EN OTRO PUNTO

Esta situación es como devolverse en la operación anterior. Originalmente teníamos una fuerza y la trasladamos a otro punto conformando un sistema fuerza-par, ahora queremos es encontrar el punto de aplicación de esa fuerza de tal manera que produzca el mismo efecto de rotación que el par y que al trasladarla allí la suma de pares, el original y el de traslado de cero:
Quiere decir que al trasladar a F al punto A se reemplazó el efecto de rotación del par o explicado de otra manera, F aplicada en A produce el mismo efecto, tanto de traslación como de rotación, que el sistema fuerza-par en O. El traslado se hace de tal manera que el momento o par en A sea igual a cero:

ó

en 1 el vector de posición parte del punto “A” a encontrar y llega al punto original; en 2 el vector parte del punto original y llega al punto “A” a encontrar y se invierte el signo de Mo. De esta forma el sistema fuerza par original queda reducido a una sola fuerza.

Notemos que para poder hacer esta reducción la fuerza y el par original deben ser perpendiculares entre si, porque sino nunca se encontrará por medio del producto vectorial un par que no sea perpendicular a la fuerza y al vector de posición rAO y esta suma no daría cero.Un sistema fuerza-par es factible de reducir a un sistema de una sola fuerza cuando él proviene de un sistema de fuerzas que cumpla una de las siguientes características:

-Solo cuando el par M se obtuvo de traslación de una sola fuerza F
-Cuando el sistema de fuerzas originales a reducir a R y MR esta constituido por fuerzas concurrentes. En este caso no habría que hacer reducción ya que solo existe R
-Cuando el sistema de fuerzas original está constituido por fuerzas coplanarias
-Cuando el sistema de fuerzas original está constituido por fuerzas paralelas
en estos dos últimos casos el vector momento de estas fuerzas siempre será perpendicular al plano que contiene a las fuerzas.

Desarrollando las ecuaciones planteadas en 1 y 2 tenemos que la incógnita a encontrar son las coordenadas del punto A, en este caso expresadas en el vector de posición r:
Este determinante nos da un sistema de tres ecuaciones independientes con tres incógnitas:
El vector rOA está expresado en función de las coordenadas del punto O y las coordenadas del punto A. Notemos que el punto A de traslado de la fuerza no es único ya que nosotros podemos mover la fuerza sobre su línea de acción y los efectos son los mismos. Por lo tanto al resolver este sistema de ecuaciones nosotros vamos a encontrar es la ecuación de una línea recta en el espacio y cualquier punto sobre esa línea es valido para trasladar la fuerza. Por lo tanto podríamos asumir por ejemplo un valor de Z y encontrar las X y Y correspondientes a ese valor o viceversa con los valores de X o Y, así nosotros podemos localizar a A sobre un plano especifico. Si hacemos Z=0 estaríamos con A en el plano XY.

En el caso de que trabajemos en dos dimensiones encontraremos una ecuación con dos incógnitas que serían las coordenadas x y del punto a encontrar. Este sistema necesitaría asumir un valor ya sea de y o de x para poder encontrar el otro. Note que la ecuación que encontramos es la ecuación de la línea de acción de la fuerza de la forma: y=mx+b.
Queremos trasladar la fuerza F al punto A:
1.-Sumamos y restamos F en A.
2.-Encontramos el momento del par generado:
3.-Sumamos pares en A e igualamos a cero.

despejando y en función de x:


note que esta ecuación constituye la ecuación de una línea recta con pendiente m=Fy/Fx y con termino independiente igual a Mp/Fx.

Ejemplo
Reemplazar la fuerza y el par por una única fuerza actuando sobre la línea AB y sobre la línea AC.